Zdravim na skuske nam dal profesor takyto priklad : Najdite rozmery bazena tvaru kvadra, tak aby bola pri danom objeme V najmensia spotreba materialu(najmensi povrch). to je vsetko ziadne cisla. neviete niekto co s tym?
1x
Myslim, ze us se zde drive na diskusi resil podobny problem, ale s valcem. A nevyresil...
Pokud mate pristup k napriklad Matlabu, umite v nem pracovat a nemusite dokladat zpusob vypoctu, doporucuji tento vyuzit a pomoci funkce FMINSEARCH se dopracujete k vysledku.
Jinak:
Dejme tomu, ze dno bazenu ma rozmer a*b a vysku v.
Pak objem V=a*b*v a obsah S=ab+2av+2bv.
Objem V je zadan, je to tedy konstanta a plocha S ma byt nejmensi.
Plochu S si tedy v zavislosti na objemu V muzeme vyjadrit takto:
S=V/v+V/b+V/a = V(1/v+1/b+1/a)...plocha S je tedy zavisla na znamem objemu V a trech neznamych (promennych) a, b, v.
Extrem funkce S zjistime, kdyz polozime jeji parcialni derivace dle jednotlivych promennych rovny nule @S/@a=0, @S/@b=0, @S/@v=0.
Znak @ zde znaci parcialni derivaci.
Podminkou je minimum. Tudiz je potreba spocitat jeste druhe derivace a vytvorit z nich matici:
Minimum ziskame, pokud je matice pozitivne definitni...vyjadrime si vlastni cisla matice a polozime je vetsi nule. Spocteme a zpetne dosadime do matice. (Kladnost vlastnich cisel nam zajisti pozitivni definitnost matice.)
Nyni jiz mame cisla, s kterymy muzeme pocitat. Provedeme zpetnou integraci a vysledky dosadime do rovnic pro zjisteni extremu (rovnice s prvnimi parcialnimi derivacemi, ktere sme polozily rovny nule).
Spocteme hodnoty a, b a v.
A je to.
0x
Myslím si, že úlohu lze řešit i jednodušeji, než dif. počtem více proměnných. Já jsem uvažoval následovně. Nejprve si myslím, že je celkem jasné, že zredukujeme-li úlohu o dimenzi níž, čili nalézt obvod obdélníka tak, aby při zadaném obsahu P byl tento nejmenší, tak asi každý umí vypočítat, že jde o čtverec o straně a= odmocnina(P). To je i celkem známé. Když si teď představím bazén o nějaké hloubce x a o čtvercovém dnu, je jasné, že objem tohoto bazétu je přímo úměrný hloubce x a tím pádem i ploše jeho stěn (čtvercové dno se nemění). V tomto okamžiku lze tohle chápat i tak, že: Je dán bazén o objemu V a hloubce x. nalezněnte tvar dna, aby materiál na stavbu byl nejmenší. Je teď jasné, že dno bude čtvercové. Z tohoto obratu je nyní vidět, že původní úloha má vlastně v zadání už to, že dno musí být tím pádem čtvercové. Takže pak stačí vyjádřit objem V = a*a*v k tomu podstava + plášť S= a*a+4*a*v. Pak už je to jednoduché a vyjde a= 3-tí odmocnina(2*V)
Napriklad: Bazen si sice predstavime jako kvadr polozeny na nejvetsi plochu, ale ve skutecnosti, matematicky, pro objem vody je jedno na ktere strane kvadr sedi. Proto musi byt vsechny strany vzajemne zamenitelne. A proto musi byt vsechny stejne. A proto jde o krychli.
A uplne nejjednodusejs: Vetsine lidi je znamo, ze nejmensi povrch ku svemu objemu ma koule. A jaky predmet krychloveho tvaru ma tvar nejblize se podobajici kouly? Krychle.
Kazdopadne at se na to jde matematicky nebo od lesa, vzdy vyjde, ze vsechny strany jsou stejne a vysledek je a=V^(1/3).
Nenesieme zodpovednosť za správnosť informácií a za škodu vzniknutú ich využitím. Jednotlivé odpovede vyjadrujú názory ich autorov a nemusia sa zhodovať s názorom prevádzkovateľa poradne Poradte.sk
Používaním poradne súhlasíte s personalizovanou reklamou, ktorá pomáha financovať tento server, ďakujeme.